نام آزمون: پایانترم معادلات دیفرانسیل

دانشگاه شریف

دانشکده ریاضی

نیمسال دوم ۰۳-۱۴۰۲

مدت آزمون ۳ ساعت

ارزش تمامی سوالات با هم برابر است.

سوال ۱:‌ نشان دهید اگر \( \lambda \) عددی صحیح و مثبت باشد، در حل سری معادله لژاندر حول نقطه \( x_{0} = 0 \) ، شعاع همگرایی یکی از دو جواب بی‌نهایت است.

\( ( 1 - x^{2} ) y^{\prime \prime} - 2 xy^{\prime} + \lambda ( \lambda + 1 ) y = 0\)

سوال ۲:‌ جواب عمومی قسمت همگن معادله دیفرانسیل ناهمگن زیر داده شده است. آن را به روش تغییر پارامتر حل کنید.

\( t x^{\prime} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 1- t^{2} \\ 2t \end{pmatrix} ~~~ , ~~~ x^{c} = c_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} t^{-1} \)

سوال ۳) معادله انتگرو دیفرانسیلی زیر را حل کنید (راهنمایی: پاسخ‌ها به صورت انتگرالی است) :

\( \int_{0}^{t} e^{x} x y^{\prime} (x) dx + 2 \sin t + \delta ( t - \pi ) y (t) \tan^{-1} (t-0) = 0 , ~~~ y(0) = 1 \)

سوال ۴) میله انتگرال زیر را با تغییر متغییر مناسب بدست آورید. 

\( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{\ln x} } \)

سوال ۵) میله انتگرال زیر را با تغییر متغییر مناسب بدست آورید. 

\( u =  \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} , ~~  v =  \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , ~~  J =  \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{2} \end{pmatrix} \)

یک بردار را استاندارد می‌نامیم اگر درایه وسط آن برابر با ۱ باشد. مثلا \( u \)‌ استاندارد است اما \( v \) استاندارد نیست. دستگاه زیر را به فرض این که بدانید یکی از مقادیر ویژه آن برابر ۳ است و فرم ژردان آن به صورت \( J \) است، ( توجه کنید فرض مربوطه جهت تسهیل در کار است و بدون آن هم قابل حل است) حل کنید و هر جا نیاز به بردری بود، آن را حتما استاندارد فرض کنید. ( در صورت استفاده نکردن از بردار استاندارد نمره مربوطه داده نمی‌شود.)

\( x^{\prime} =  \begin{pmatrix} 7 & 4 & 4 \\ -6 & -4 & -7 \\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix} x \)

موفق باشید.