دترمینان

مقطع تحصیلی: کارشناسی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف دترمینان: فرض کنید که \(A = [a_{ij}]\) یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\) به صورت زیر باشد:

\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.&.&.&a_{1n}\\.&.&.&.&.&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\a_{n1}&a_{n2}&.&.&.&a_{nn}\end{bmatrix}\)

ابتدا یادآوری کنیم که نمایش ماتریس \(A\) به صورت بردارهای ستونی به شکل زیر خواهد بود:

\(\begin{bmatrix}a_1 & .&.&. & a_n \end{bmatrix}\)

که \(a_j\) ستون jم ماتریس می‌باشد. یعنی به ازای \(1 \leq j \leq n\) برداری از مرتبه \(n \times 1\) داریم:

\(a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ . \\. \\. \\ a_{nj}\end{bmatrix}\)

در این صورت دترمینان ماتریس \(A\) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\(det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (sgn( \sigma) \prod_{i=1}^n a_{i , \sigma_i})\)

و به صورت \( det(A) = \left| A \right| \)  نشان می‌دهیم.

در واقع فرمول بالا مجموع را بر روی تمام جایگشت‌های \(\sigma\) از مجموعه \(\{ 1 ... , n \}\) محاسبه می‌کند. نماد \(\prod_{i=1}^n a_i , \sigma_i\) در واقع حاصلضرب \(a_{1,\sigma_1}\times a_{2,\sigma_2}...\times a_{n,\sigma_n}\) را نشان می‌دهد.


مثال ۱. فرض کنید که \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) باشد. دترمینان ماتریس \(A\) را محاسبه کنید.

چون \(A\) یک ماتریس \(2 \times 2\) می‌باشد. پس \(S = \{ 1, 2 \}\) در نظر گرفته و تمام جایگشت‌های آن به صورت زیر خواهد بود:

\(S_2 = \{ \alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{pmatrix} , \beta = \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{pmatrix} \}\)

دترمینان این ماتریس با توجه به تعریف دترمینان به صورت زیر به دست خواهد آمد:

\(det(A) = det (\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &5 \end{bmatrix}) = \sum_{\sigma \in S_2} sgn(\sigma) a_{1 , \sigma(1)}a_{2 , \sigma(2)} = sgn(\alpha) a_{1 , \alpha (1)} a_{2 , \alpha (2)} + sgn ( \beta) a_{1 , \beta(1)} a_{2  , \beta(2)}\)

حال با توجه به مفاهیم جایگشت‌های زوج و فرد داریم:

\(sgn(\alpha) =1,\:\:\: sgn( \beta) = -1\)

و از طرفی داریم:

\(\alpha(1) = 1 ,\:\: \alpha(2) = 2\)

\(\beta(1) = 2 ,\:\: \beta(2) = 1\)

پس در نتیجه دترمینان این ماتریس برابر خواهد بود با

\(det(A) = 1 \times a_{11} a_{22} + (-1) \times a_{12}a_{22} = 1 \times 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 -6 = -1\)


نکته ۱. \(A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) یک ماتریس از مرتبه \( 2 \times 2\) باشد. در این صورت با توجه به تعریف دترمینان، مقدار دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) برابر خواهد شد با

\(det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)


تمرین ۱. دترمینان ماتریس  \(3 \times 3\) زیر را محاسبه کنید:

\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)


تمرین ۲. دترمینان ماتریسهای زیر را محاسبه کنید.

۱. \(A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\8 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

۲. \(B = \begin{bmatrix}1 & 5 & 3 \\2 & 1 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)

۳. \(C = \begin{bmatrix}1 & 5 \\0 & 3 \end{bmatrix}\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1553)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (909)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (985)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (1149)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1105)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب... بازدید (19884)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب گراف ها و ماتری...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2023 9709-2 With Solution Cambridge International AS and A Level M... بازدید (943)
Cambridge International AS and A Level M...
یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد دوم دکتر میرزاوزیری یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد دو... بازدید (9742)
نسخه پی دی اف کتاب یادگیری ریاضیات به عن...
جزوه کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر فراهی جزوه کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر فرا... بازدید (21743)
جزوه درس کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر...
کتاب سری های فوریه و چندجمله ای های متعامد دکتر فراهی کتاب سری های فوریه و چندجمله ای های متعا... بازدید (17025)
کتاب سری های فوریه و چندجمله ای های متعا...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (83040)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40675)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (38525)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38194)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (35112)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

مطالب تصادفی

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
16177900

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا